数IAIIB 高校数学の解法

【数IA確率】サイコロ4つの積が100の倍数になる確率(九州大)

4 個のサイコロを同時に投げるとき,出る目すべての積を $X$ とする。以下の問いに答えよ。(九州大2020)

(1) $X$ が 25 の倍数になる確率を求めよ。

(2) $X$ が 4 の倍数になる確率を求めよ。

(3) $X$ が 100 の倍数になる確率を求めよ。


順番に考えていくよ。

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25 の倍数

5 が 2 つ以上あるときだから,余事象として 5 が 0 個,5 が 1 個のときを考えたほうが速い。

こういうときって 4 つのサイコロって区別するんですか?

区別する。今回の設定も1 つのサイコロを 4 回投げる場合って考えた方が混乱しなくてすむよね。以下,この考えで進めていく。

5 が 0 個のとき

1, 2, 3, 4, 6 の 5 通りだから

$\Big(\cfrac{5}{6}\Big)^4=\cfrac{5^4}{6^4}$

5 が 1 個のとき

$_4C_1\Big(\cfrac{1}{6}\Big)\Big(\cfrac{5}{6}\Big)^3=\cfrac{4\cdot5^3}{6^4}$

$_4C_1$ かけるの?

反復試行のやり方。5 が何番目になるかによって 4 通りあるから,それをかけることになる。

よって

$1-\cfrac{5^4}{6^4}-\cfrac{4\cdot5^3}{6^4}$

$=\cfrac{6^4-5^4-4\cdot5^3}{6^4}$

$=\cfrac{1296-625-500}{1296}$

$=\cfrac{19}{144}$ (答え)

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4 の倍数のとき

4 が 1 個でもあれば 4 の倍数だし,2 と 6 の組合せも 4 の倍数になる。

4 が 1 個以上ってどうしたらいいですか?

普通に数えるなら,4 が 1 個のとき,4 が 2 個のとき・・・と場合分けしていくことになる。

タイヘンそう。じゃあ余事象かも。

そうね。ただ多少ややこしい。

まず,もうちょっと正確に考えてみる。

$X$ が 4 の倍数になるのは

4 を 1 つ以上含む または (2,2)(2,6)(6,6)を含む

ド・モルガンの法則 $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$ ってのがあったよね。

逆は

4 を含まない かつ (2,2)(2,6)(6,6)を含まない

結局,2,4,6 を含まなければいいってこと?

それもだけど,それだけじゃない。(2,2)を含まないには 2 を 1 個だけ含む場合があるからね。

2,4,6 を含まない⇒1,3,5から 4 回選ぶ

$\Big(\cfrac{3}{6}\Big)^4=\cfrac{1}{16}$

2 が 1 個,1,3,5 から 3 回選ぶ

$_4C_1\Big(\cfrac{1}{6}\Big)\Big(\cfrac{3}{6}\Big)^3=\cfrac{1}{12}$

6 が 1 個,1,3,5 から 3 回選ぶ

上と同様に $\cfrac{1}{12}$

したがって

$1-\cfrac{1}{16}-\cfrac{1}{12}-\cfrac{1}{12}=\cfrac{37}{48}$ (答え)

100 の倍数のとき

$100=2^2\times5^2$ だから,5 と 2,6 の組合せになる。

5 が 2 つ必要ですね。

サイコロは 4 個だから,5 が 2 個のときは残り 2 個で 4 の倍数になればいいし,5 が 3 個のときは残り 1 個は 4 じゃないといけない。5 が 4 個だと,因数に 2 を含まないから 100 の倍数じゃない。

じゃあ,5 は 2 個か 3 個か。

5 が 3 個のときが話早いからそっちから計算しようか。

5 が 3 個,4 が 1 個のとき

$\cfrac{4!}{3!}\Big(\cfrac{1}{6}\Big)^3\Big(\cfrac{1}{6}\Big)=\cfrac{1}{324}$

$\cfrac{4!}{3!}$ って何でしたっけ?

4 つの数字を並べるとき,並べかたは 4! 通りある。そのうち 3 つが重複するから,そういうときは 3! で割るとよかった。

次に,5 が 2 個のとき。ここは数え間違えやすいから十分注意。まず,4 を含むときから。

5 が 2 個と(4,1)(4,2)(4,3)(4,6)

$4\cdot\cfrac{4!}{2!}\Big(\cfrac{1}{6}\Big)^2\Big(\cfrac{1}{6}\Big)\Big(\cfrac{1}{6}\Big)=\cfrac{1}{27}$

(4,4)と(4,5)は数えないんですか?

(4,4)は重複だから式が別。(4,5)はそれだと 5 が 3 個で 4 が 1 個になるから,すでに数えてる。

5 が 2 個と(4,4)

$\cfrac{4!}{2!2!}\Big(\cfrac{1}{6}\Big)^2\Big(\cfrac{1}{6}\Big)^2=\cfrac{1}{216}$

あとは 4 を含まないパターンだから,(2,2)(2,6)(6,6)が残ってる。

5 が 2 個と(2,2)

上と同様に $\cfrac{1}{216}$

5 が 2 個と(6,6)

上と同様に $\cfrac{1}{216}$

5 が 2 個と(2,6)

$\cfrac{4!}{2!}\Big(\cfrac{1}{6}\Big)^2\Big(\cfrac{1}{6}\Big)\Big(\cfrac{1}{6}\Big)=\cfrac{1}{108}$

したがって

$\cfrac{1}{324}+\cfrac{1}{27}+\cfrac{3}{216}+\cfrac{1}{108}=\cfrac{41}{648}$ (答え)

数え忘れや数え過ぎが起きやすいから慎重に場合わけしていくこと。

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