1/(e^x+5e^-x-2) の積分・置換を 2 回行う問題(2015横浜国立大理系第1問)

次の問いに答えよ。

(1) 定積分

$\displaystyle\int_0^{\log3}\cfrac{dx}{e^x+5e^{-x}+2}$

を求めよ。

(2) $x>0$ のとき，不等式

$\log x\geqq\cfrac{5x^2-4x-1}{2x(x+2)}$

が成り立つことを示せ。

置換積分

(1)から始めます。

式を変形すると

$\displaystyle\int_0^{\log3}\cfrac{dx}{e^x+\cfrac{5}{e^{x}}+2}$

分母・分子に $e^x$ をかけて

$\displaystyle\int_0^{\log3}\cfrac{e^x}{(e^x)^2+2e^x+5}\space dx$

となります。

ここで，$e^x=t$ として置換積分してみましょう。

$e^x=t$ とすると
$e^x dx=dt$

$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{c|c}x&0\rightarrow\log3\\\hline t&1\rightarrow3\end{array}$

$\displaystyle\int_1^3\cfrac{1}{t^2-2t+5}\space dt$

分母に 2 次関数があるときには平方完成して $\tan$ に置換します。これはパターンなので覚えましょう。

$\displaystyle=\int_1^3\cfrac{1}{(t-1)^2+4}\space dt$

さらに置換します。

$t-1=2\tan\theta$ とすると

$dt=\cfrac{2}{\cos^2\theta}\space d\theta$

$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{c|c}t&1\rightarrow3\\\hline \theta&0\rightarrow\frac{\pi}{4}\end{array}$

$\displaystyle=\int_0^{\small{\frac{\pi}{4}}}\cfrac{1}{4\tan^2\theta+4}\cdot\cfrac{2}{\cos^2\theta}\space d\theta$
$\displaystyle=\int_0^{\small{\frac{\pi}{4}}}\cfrac{1}{4(\tan^2\theta+1)}\cdot\cfrac{2}{\cos^2\theta}\space d\theta$
$\displaystyle=\int_0^{\small{\frac{\pi}{4}}}\cfrac{1}{\cfrac{4}{\cos^2\theta}}\cdot\cfrac{2}{\cos^2\theta}\space d\theta$
$\displaystyle=\int_0^{\small{\frac{\pi}{4}}}\cfrac{1}{2}\space d\theta$
$\displaystyle=\cfrac{1}{2}\Big[\theta\Big]_0^{\small{\frac{\pi}{4}}}$
$=\cfrac{\pi}{8}$　（答え）

微分して関数の増減を考える

(2)に進みます。

$\log x\geqq\cfrac{5x^2-4x-1}{2x(x+2)}$ $(x>0)$

不等式を証明するときには，とりあえず移項して左辺にまとめていくのがセオリーです。

$\log x-\cfrac{5x^2-4x-1}{2x(x+2)}\geqq0$

あとは $x>0$ の範囲で，関数がつねに 0 より大きいことを示せば良さそうです。そこで微分して増減表を作ってみましょう。

$f(x)=\log x-\cfrac{5x^2-4x-1}{2x(x+2)}$ とすると

$f'(x)=\cfrac{1}{x}-\cfrac{(10x-4)(2x^2+4x)-(5x^2-4x-1)(4x+4)}{4x^2(x+2)^2}$

$=\cfrac{1}{x}-\cfrac{\cancel{2}(5x-2)\cdot\cancel{2}(x^2+2x)-(5x^2-4x-1)\cdot\cancel{4}(x+1)}{\cancel{4}x^2(x+2)^2}$
$=\cfrac{1}{x}-\cfrac{(5x-2)(x^2+2x)-(5x^2-4x-1)(x+1)}{x^2(x+2)^2}$
$=\cfrac{1}{x}-\cfrac{5x^3+10x^2-2x^2-4x-\{5x^3+5x^2-4x^2-4x-x-1\}}{x^2(x+2)^2}$
$=\cfrac{1}{x}-\cfrac{7x^2+x+1}{x^2(x+2)^2}$ $=\cfrac{x(x+2)^2-7x^2-x-1}{x^2(x+2)^2}$
$=\cfrac{x^3+4x^2+4x-7x^2-x-1}{x^2(x+2)^2}$
$=\cfrac{x^3-3x^2+3x-1}{x^2(x+2)^2}$
$=\cfrac{(x-1)^3}{x^2(x+2)^2}$

$x>0$ の条件では，分母はつねにプラスなので，あとは分子について考えれば良いことになります。

増減表は

$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x&(0)&\cdots&1&\cdots\\\hline f'(x)&&-&0&+\\\hline f(x)&&\searrow&0&\nearrow\\\hline\end{array}$

関数の最小値は 0 だから，これで不等式が証明できました。

したがって $f(x)\geqq0$ だから，不等式は成り立つ。（証明終わり）